总结函数零点 第1篇

学习目标

1. 结合二次函数的图象，判断一元二次方程根的存在性及根的个数，从而了解函数的零点与方程根的联系;

2. 掌握零点存在的判定定理.

学习过程

一、课前准备

（预习教材P86~ P88，找出疑惑之处）

复习1：一元二次方程 +bx+c=0 （a 0）的解法.

判别式 = .

当 0，方程有两根，为 ;

当 0，方程有一根，为 ;

当 0，方程无实根.

复习2：方程 +bx+c=0 （a 0）的根与二次函数y=ax +bx+c （a 0）的图象之间有什么关系?

判别式 一元二次方程 二次函数图象

二、新课导学

学习探究

探究任务一：函数零点与方程的根的关系

问题：

① 方程 的解为 ，函数 的图象与x轴有 个交点，坐标为 .

② 方程 的解为 ，函数 的图象与x轴有 个交点，坐标为 .

③ 方程 的解为 ，函数 的图象与x轴有 个交点，坐标为 .

根据以上结论，可以得到：

一元二次方程 的根就是相应二次函数 的图象与x轴交点的 .

你能将结论进一步推广到 吗?

新知：对于函数 ，我们把使 的实数x叫做函数 的零点（zero point）.

反思：

函数 的零点、方程 的实数根、函数 的图象与x轴交点的横坐标，三者有什么关系?

试试：

（1）函数 的零点为 ;

（2）函数 的零点为 .

小结：方程 有实数根 函数 的图象与x轴有交点 函数 有零点.

探究任务二：零点存在性定理

问题：

① 作出 的图象，求 的值，观察 和 的符号

② 观察下面函数 的图象，

在区间 上 零点; 0;

在区间 上 零点; 0;

在区间 上 零点; 0.

新知：如果函数 在区间 上的图象是连续不断的一条曲线，并且有 0，那么，函数 在区间 内有零点，即存在 ，使得 ，这个c也就是方程 的根.

讨论：零点个数一定是一个吗? 逆定理成立吗?试结合图形来分析.

典型例题

例1求函数 的零点的个数.

变式：求函数 的零点所在区间.

小结：函数零点的求法.

① 代数法：求方程 的实数根;

② 几何法：对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数 的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点.

动手试试

练1. 求下列函数的零点：

练2. 求函数 的零点所在的大致区间.

三、总结提升

学习小结

①零点概念;

②零点、与x轴交点、方程的根的关系;

③零点存在性定理

知识拓展

图象连续的函数的零点的性质：

（1）函数的图象是连续的，当它通过零点时（非偶次零点），函数值变号.

推论：函数在区间 上的图象是连续的，且 ，那么函数 在区间 上至少有一个零点.

（2）相邻两个零点之间的函数值保持同号.

学习评价

自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.

A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差

当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：

1. 函数 的零点个数为（ ）.

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

2.若函数 在 上连续，且有 .则函数 在 上（ ）.

A. 一定没有零点 B. 至少有一个零点

C. 只有一个零点 D. 零点情况不确定

3. 函数 的零点所在区间为（ ）.

A. B. C. D.

4. 函数 的零点为 .

5. 若函数 为定义域是R的奇函数，且 在 上有一个零点.则 的零点个数为 .

课后作业

1. 求函数 的零点所在的大致区间，并画出它的大致图象.

2. 已知函数 .

（1） 为何值时，函数的图象与 轴有两个零点;

（2）若函数至少有一个零点在原点右侧，求 值.

总结函数零点 第2篇

第一课时：

教学要求：结合二次函数的图象，判断一元二次方程根的存在性及根的个数，从而了解函数的零点与方程根的联系；掌握零点存在的判定条件.

教学重点：体会函数的零点与方程根之间的联系，掌握零点存在的判定条件.

教学难点：恰当的使用信息工具，探讨函数零点个数.

教学过程：

一、复习准备：

思考：一元二次方程 +bx+c=o(a 0)的根与二次函数y=ax +bx+c的图象之间有什么关系？

.二、讲授新课：

1、探讨函数零点与方程的根的关系：

① 探讨：方程x -2x-3=o 的根是什么？函数y= x -2x-3的图象与x轴的交点?

方程x -2x+1=0的根是什么？函数y= x -2x+1的图象与x轴的交点？

方程x -2x+3=0的根是什么？函数y= x -2x+3的图象与x轴有几个交点？

② 根据以上探讨，让学生自己归纳并发现得出结论： → 推广到y=f(x)呢？

一元二次方程 +bx+c=o(a 0)的根就是相应二次函数y=ax +bx+c的图象与x轴交点横坐标.

③ 定义零点：对于函数y=f(x),我们把使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点.

④ 讨论：y=f(x)的零点、方程f(x)=0的实数根、函数y=f(x) 的图象与x轴交点的横坐标的关系？

结论：方程f(x)=0有实数根 函数y=f(x) 的图象与x轴有交点 函数y=f(x)有零点

⑤ 练习：求下列函数的零点 ； → 小结：二次函数零点情况

2、教学零点存在性定理及应用：

① 探究：作出 的图象，让同学们求出f(2),f(1)和f(0)的值, 观察f(2)和f(0)的符号

②观察下面函数 的图象，在区间 上______(有/无)零点； • _____0（＜或＞）. 在区间 上______(有/无)零点； • _____0（＜或＞）. 在区间 上______(有/无)零点； • _____0（＜或＞).

③定理：如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a).f(b)<0,那么，函数y=f(x)在区间（a,b）内有零点，即存在c (a,b),使得f(c)=0，这个c也就是方程f(x)=0的根.

④ 应用：求函数f(x)=lnx+2x-6的零点的个数. （试讨论一些函数值→分别用代数法、几何法）

⑤小结：函数零点的求法

代数法：求方程 的实数根；

几何法：对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数 的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点.

⑥ 练习：求函数 的零点所在区间.

3、小结：零点概念；零点、与x轴交点、方程的根的关系；零点存在性定理

三、巩固练习：1. p97, 1,题 2,题 （教师计算机演示，学生回答）

2. 求函数 的零点所在区间，并画出它的大致图象.

3. 求下列函数的零点： ； ； ；

4. 已知 ：（1） 为何值时，函数的图象与 轴有两个零点；

（2）如果函数至少有一个零点在原点右侧，求 的值.

5. 作业：p102, 2题；p125 1题

第二课时： 用二分法求方程的近似解

教学要求：根据具体函数图象，能够借助计算器用二分法求相应方程的近似解. 通过用二分法求方程的近似解，使学生体会函数零点与方程根之间的联系，初步形成用函数观点处理问题的意识.

教学重点：用二分法求方程的近似解.

教学重点：恰当的使用信息工具.

教学过程：

一、复习准备：

1. 提问：什么叫零点？零点的等价性？ 零点存在性定理？

零点概念：对于函数y=f(x),我们把使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点.

方程f(x)=0有实数根 函数y=f(x) 的图象与x轴有交点 函数y=f(x)有零点

如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a).f(b)<0,那么，函数y=f(x)在区间（a,b）内有零点，即存在c (a,b),使得f(c)=0，这个c也就是方程f(x)=0的根.

2. 探究：一元二次方程求根公式？ 三次方程？ 四次方程？

材料：高次多项式方程公式解的探索史料：在十六世纪，已找到了三次和四次函数的求根公式，但对于高于4次的函数，类似的努力却一直没有成功，到了十九世纪，根据阿贝尔（abel）和伽罗瓦（galois）的研究，人们认识到高于4次的代数方程不存在求根公式，亦即，不存在用四则运算及根号表示的一般的公式解.同时，即使对于3次和4次的代数方程，其公式解的表示也相当复杂，一般来讲并不适宜作具体计算.因此对于高次多项式函数及其它的一些函数，有必要寻求其零点的近似解的方法，这是一个在计算数学中十分重要的课题

二、讲授新课：

1. 教学二分法的思想及步骤：

① 出示例：有12个小球，质量均匀，只有一个是比别的球重的，你用天平称几次可以找出这个球的，要求次数越少越好. （ 让同学们自由发言，找出最好的办法）

解：第一次，两端各放六个球，低的那一端一定有重球

第二次，两端各放三个球，低的那一端一定有重球

第三次，两端各放一个球，如果平衡，剩下的就是重球，否则，低的就是重球.

其实这就是一种二分法的思想，那什么叫二分法呢？

② 探究： 的零点所在区间？如何找出这个零点？ → 师生用二分法探索

③ 定义二分法的概念：对于在区间[a,b]上连续不断且f(a).f(b)<0的函数y=f(x)，通过不断的把函数的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫二分法(bisection)

④ 探究：给定精度ε，用二分法求函数 的零点近似值的步骤如下：

a.确定区间 ，验证 ，给定精度ε；b. 求区间 的中点 ；

c. 计算 ： 若 ，则 就是函数的零点； 若 ，则令 （此时零点 ）； 若 ，则令 （此时零点 ）；

d. 判断是否达到精度ε；即若 ，则得到零点零点值a（或b）；否则重复步骤2~4.

2. 教学例题：

① 出示例：借助计算器或计算机用二分法求方程2 +3x=7的近似解. （师生共练）

② 练习：求函数 的一个正数零点（精确到 ）

3. 小结：二分法的概念, 二分法的步骤；注重二分法思想

三、巩固练习：1. p100, 1,题 2,题； 2. 求方程 的解的个数及其大致所在区间.

3. 用二分法求 的近似值； 4. 求方程的实数解个数： ；

5. 作业：p102 3，4题， 阅读p105框图

总结函数零点 第3篇

§ 方程的根与函数的零点教学目的：1、结合二次函数的图象，判断一元二次方程根的存在性及根的个数，从而了解函数的零点与方程根的关系；2、根据具体函数的图象，能够借助计算器或计算机用二分法求相应方程的近似解，了解这种方法是求方程近似解的常用方法。教学重点：函数的零点的概念及求法；能够借助计算器或计算机用二分法求相应方程的近似解。教学难点：利用函数的零点作简图；对二分法的理解。课时安排：3课时 教学过程：一、 引入课题

1、思考：一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0）的根与二次函数y=ax2+bx+c (a≠0)的图象有什么关系？

2、指出：（1）方程x2-2x-3=0的根与函数y= x2-2x-3的图象之间的关系；（2）方程x2-2x+1=0的根与函数y= x2-2x+1的图象之间的关系；（3）方程x2-2x+3=0的根与函数y= x2-2x+3的图象之间的关系.二、新课教解

1、一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0）的根与二次函数y= ax2+bx+c (a≠0)的图象有如下关系：

判别式△=b2-4ac

△>0

△=0

△<0

二次函y=ax2+bx+c 的图象 xyx1x2xyx1=x2yx

与x轴有两个交点（x1,0）,(x2,0)

与x轴有唯一的交点（x1,0）

与x轴没有交点

一元一次方程ax2+bx+c=0 的根

有两个不等的实数根x1，x2 x1

有两个相等实数根x1=x2

没有实数根

2、函数零点的概念

对于函数y=f(x),我们把使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点(zero point).

方程f(x)=0有实数根 函数y=f(x)的图象与x轴 有交点 函数y=f(x)有零点

3、连续函数在某个区间上存在零点的判别方法：

如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断一条曲线，并且有f(a)·f(b)<0，那么，函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点.即存在c∈(a,b)，使得f(c )=0，这个c也就是方程f(x)=0的根.

例1 求函数f(x)=lnx+2x-6的零点个数.练习：p103 第1、2题.

思考：怎样求解方程lnx+2x-6=0？

4、二分法

对于在区间[a,b]上连续不断、且f(a) · f(b)<0的函数y=f(x)，通过不断把函数f(x)的零点所在区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫二分法。

步骤：1、确定区间[a,b]，验证f(a) · f(b)<0，给定精确度ε

2、求区间(a,b)的中点x1

3、计算f(x1);

(1) 若f(x1)=0,则x1就是函数的零点

(2) 若f(a) · f(x1)<0,则令b= x1(此时零点x0∈(a,x1))

(3) 若f(b)· f(x1)<0,则令a= x1(此时零点x0∈(x1,b))

4、判断是否达到精确度ε，即若|a-b|< ε,则得到零点的近似值a(或b)；否则得复2～4。

例2、借助电子计算器或计算机用二分法求方程 的近似解（精确到）。练习：p106 第1、2题.三、归纳小结，强化思想 本节主要学习了函数的零点的概念及求法；借助计算器或计算机用二分法求相应方程的近似解。四、作业布置1. 必做题：教材p108习题（a组） 第1－6题.2. 选做题：教材p109习题（b组） 第2题