函数方程性质公式总结 第1篇
由于高阶一元线性方程可以写作\frac{d\vec x}{dt}=A(t)\vec x +F(t)的形式，所以这里的方法也适用于一元高阶线性微分方程。
朗斯基行列式就是把函数向量组放在一起的det。
解的朗斯基行列式可以表示为：
W(t)=W(t_0)exp(\int_{t_0}^{t}trA(s)ds)
\frac{d\vec x}{dt}=A(t)\vec x
设\lambda_i对应的特征向量为v_i（列向量），则基解矩阵
\phi(t)=(v_1 e^{\lambda_1 t},v_2 e^{\lambda_2 t},\cdots)
我们知道，\frac{d\vec x}{dt}=A(t)\vec x 的基解矩阵为e^{At}，关键就在于算这个exp矩阵了。
定义：
e^{At}=\sum_{k=0}^\infty \frac{t^k}{k!} A^k
(可以验证这个级数是对任何确定的A都是绝对收敛的)
不能对角化，那就Jordan标准化。目的是把A写作P^{-1}JP的形式，把每一个特征值的广义特征向量全部写满,就组成P了。J的对角线是特征值重复代数重数次，几何重数少了代数重数几个就在对角线右上添几个1.（我这抽象描述一下，实在是忘了Jordan标准化的话你还是专门去找文章看下吧）
计算得组成基解的线性无关向量：（第j个特征值的第i个向量,vij是广义特征向量）
\vec y_{ji}(x)=e^{\lambda_j x}[\sum_{m=0}^{n_j-1}\frac{x^m}{m!}(A-\lambda_jI)^m]\vec v_{ji}
设\phi(t)是线性齐次的基解矩阵，F(t)是方程组右侧的那个“常数项”。
则方程组的通解为
x(t)=\phi(t)(\int_{t_0}^t F(s) \phi^{-1}(s)ds +C)
函数方程性质公式总结 第2篇
\frac{dy}{dx}=P(x)y+Q(x)
齐次通解：e^{\int P(x)dx}+C
常数变易法，得到非齐次通解：
e^{\int P(x)dx}[\int Q(x)e^{-\int P(x)dx}dx+C]
括号里再塞一个积分，用原方程的“常数（只含x）”部分除上齐次通解，积起来。
y'+\frac1xy=\frac{e^x}x
这太标志了。
\frac{dy}{dx}=P(x)y+Q(x)y^n
特点：把y'的系数清干净之后，还出现一项除了x以外带个一次的y（就是说和y'的y次数就相差一个），那就把第三项那个y^n等式两边同除了。
1^{\circ}y\neq 0，两端同除y^n，得：
y^{-n}\frac{dy}{dx}=P(x)y^{1-n}+Q(x)
令z=y^{1-n},则\frac{dz}{dx}=(1-n)y^{-n}\frac{dy}{dx}，代入上式：
\frac{dz}{dx}=(1-n)P(x)z+(1-n)Q(x)
即化为关于z的线性方程。
2^{\circ}n> 0时，y=0也是原方程的解。
2yy'+2xy^2=xe^{-x^2}
总共三项，y'前面带一个y，还有一项带y平方，正好差一个y，OK伯努利登场。
\frac{dy}{dx}=\frac{1}{xsin^2(xy)}-\frac{y}{x}
很明显这个就是硬蹭，不知道老师为什么把这个放ppt里。解法是z=xy，等式两边同乘x后可以拼出来个dz/dx.
\frac{dy}{dx}=\frac1{x+y}
方程倒过来（两边取倒数），然后爽解线性方程。
\frac{dy}{dx}=f(x)+P(x)y+Q(x)y^2
也是先把y'的系数清干净之后，还有三个座位允许你带y^0,y^1,y^2。只能通过已知特解推通解。
已知特解y*，则令z=y-y*，将y=z+y*带入原方程，化简一下就是伯努利方程了。
\frac{dz}{dx}=[P(x)+2y*(x)Q(x)]z+Q(x)z^2
\frac{dy}{dx}=y^2-\frac2{x^2}
先蒙个特解y=1/x，然后y=z+1/x代回即可。
函数方程性质公式总结 第3篇
x^{(n)}+a_1(t)x^{(n-1)}+a_2(t)x^{(n-2)}+\cdots+a_n(t)x=f(t)
向量形式：
\frac{d\overrightarrow{x}}{dt}=A\overrightarrow{x}+\overrightarrow{F}(t)
\begin{pmatrix} 0 & 1 &\cdots &0\\ 0 & 0 &\cdots &0\\ \vdots & \vdots &\ddots &\vdots \\ -a_n(t) & -a_{n-1}(t) &\cdots &-a_1(t)\end{pmatrix}
若函数组xi线性相关，则W(t)=0。(但是W(t)！=0不一定函数族线性无关)
高阶线性微分方程线性无关的解组的Wronsky行列式永不为0.（如果行列式有零点那就线性相关）
W(t)=W(t_0)exp(-\int_{t_0}^ta_1(s)ds)
自己看上面的方程，a1是次高导数项的系数
用途：一个k阶方程，已知了k-1个解，还差一个解，就把W(t)列出来，右边等于一个常数C乘上exp积分。
y^{(n)}+a_1y^{(n-1)}+\cdots+a_ny=0
跟之前一阶一样的，把导数换成次方解方程,拿到特征根塞给exp。如果有重根，就在exp前面堆多项式，如果有复根，就写成\rho e^{i\theta}然后分开设expsin+expcos，和组合数学那里一样的。
x^{(n)}+a_1(t)x^{(n-1)}+a_2(t)x^{(n-2)}+\cdots+a_n(t)x=f(t)
ODE ppt讲这里没有一图流，直接看组合数学得了
常数部分=r^nb(n)
特解形式=n^m(k_0+k_2n+\cdots+k_qn^q)r^n
可以拆成三个部分相乘，第一部分：n的{重根}次方，第二部分：和等式右侧多项式次数相等的未定系数多项式，第三部分：直接把特征根部分搬下来
先把几个通解基搞出来，再把前面系数写成c(t)带进去解c（t）.等式常数部分怪怪的用不了凑特解就用这个。
设线性通解为y=c_1 x_1+\cdots+c_n x_n，则常数变易法得到的方程组为；
y''-y=xe^xcosx
y''+y=4sinx
用常数变易
y''+y=\frac{1}{sin^3x}
就不能叫什么欧拉第一方程 第二方程？还有个变分也叫欧拉方程
x^{n}y^{(n)}+a_1x^{n-1}y^{(n-1)}+\cdots+a_{n-1}xy'+a_ny=f(x)
特点：x的次数和y的导数次数一致
更新解法：更适合物理系思路的理解方式
令x=e^t
\dot y=y'\dot x=y'x
\ddot y=(y'x)'\dot x=(y''x+y')x=y''x^2+y'x
...
D(D-1)...(D-(n-1))y=x^ny^{(n)}
下面是原ppt讲法
令D=\frac{d}{dt}，则：
xy'=Dy
x^2y''=D(D-1)y
...
代回原方程，化为g(D)*y=\varphi(x)的形式，相当于是个非齐次线性方程，用特征方程随便解下就行了。记得最后把t换成x。